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平行四邊形的性質與面積
平行四邊形是一個重要的幾何圖形，其特點是兩組對邊平行且相等。我們可以用底 × 高的公式來計算它的面積。
性質
- 對邊平行且相等
- 對角線互相平分
- 對角線將平行四邊形分成兩個相等的三角形
- 對角線交於一點，將平行四邊形分成四個小三角形
面積公式
方法一：等面積法
將平行四邊形分成兩個相等的三角形，它們的面積分別為 A 和 B。由於對角線將平行四邊形分成兩個相等的三角形，因此 A = B。所以，平行四邊形的面積為 A + B = 2A = 底 × 高。
方法二：矩形法
將平行四邊形放到方格紙上，發現可以將其分成兩個相等的矩形。矩形的面積為長 × 寬，其中「長」與「寬」對應到平行四邊形的「底」與「高」。因此，平行四邊形的面積為底 × 高。
例題
- 已知平行四邊形的底為 6 公分，高為 8 公分，求其面積。
- 已知平行四邊形的周長為 36 公分，其中對邊相等，底為 10 公分，求其高。
解答
- 面積 = 底 × 高 = 6 × 8 = 48 平方公分
- 半周長 = 36 / 2 = 18 公分
高 = 18 – 底 = 18 – 10 = 8 公分
結論
通過瞭解平行四邊形的性質和麪積公式，我們可以輕鬆計算平行四邊形的面積。長 × 高度) / 2。因此，平行四邊形的面積等於兩個三角形的面積之和，即：
面積 = ((底長 × 高度) / 2) + ((底長 × 高度) / 2) = 底長 × 高度
方式二：利用矩形的面積
將平行四邊形放在方格紙上，可以看到它可以分割成一個長方形，其長度等於平行四邊形的高度，寬度等於平行四邊形底邊，根據矩形面積公式，長方形面積為：
面積 = 長度 × 寬度 = 高度 × 底長
因此，平行四邊形的面積與上述公式一致。
平行四邊形面積難題：破解幾何學謎團
平行四邊形面積難題是數學中一個經典的幾何學問題，它考驗學生的邏輯推理和空間想像力。本文將深入探討平行四邊形面積的計算方法，以及如何解決常見的難題，幫助你掌握這個幾何學課題。
基礎公式
平行四邊形的面積公式為：
面積=底邊長×高
其中：
– 底邊長：平行四邊形的一邊的長度
– 高：平行四邊形垂直於底邊長的高度
常見難題
難題 1：求平行四邊形 ABCD 的面積，已知 AB = 6 cm、BC = 4 cm、∠ABC = 90°
使用基本公式：
面積=AB×BC=6 cm×4 cm=24 cm²
難題 2：求平行四邊形 EFGH 的面積，已知 EF // HG、EF = 8 cm、HG = 10 cm、∠E = 60°
將平行四邊形分成兩個三角形，再分別計算面積：
| 三角形 | 底邊長 | 高 | 面積 |
|---|---|---|---|
| ΔEGF | EF | FG | EF × FG / 2 |
| ΔHGF | HG | EF | HG × EF / 2 |
將兩個三角形的面積相加，即為平行四邊形的面積：
面積=(EF × FG / 2) + (HG × EF / 2)
=(8 cm × 6 cm / 2) + (10 cm × 8 cm / 2)
=24 cm² + 40 cm²
=64 cm²
難題 3：求平行四邊形 IJKL 的面積，已知 IL = 12 cm、IK = 10 cm、JL = 8 cm、∠IJK = 120°
使用餘弦定理求得 JK：
JK² = IL² + IK² - 2 × IL × IK × cos(∠IJK)
JK² = 12² + 10² - 2 × 12 × 10 × cos(120°)
JK² = 144 + 100 - 120
JK² = 124
JK = √124 cm ≈ 11.13 cm
代入基本公式求面積：
面積=IK×JL=10 cm×8 cm=80 cm²
難題 4：求平行四邊形 MNOP 的面積，已知 MN // OP、∠MOP = 30°、MP = 15 cm、NO = 18 cm
將平行四邊形分成兩個等腰三角形，再分別計算面積：
| 三角形 | 底邊長 | 邊長 | 高 | 面積 |
|---|---|---|---|---|
| ΔMPO | MN | MP | MP × sin(∠MOP) | MP × NO × sin(30°) / 2 |
| ΔNOP | NO | NP | NO × sin(∠MOP) | NO × MP × sin(30°) / 2 |
將兩個三角形的面積相加，即為平行四邊形的面積：
面積=MP × NO × sin(30°) + NO × MP × sin(30°)
=2 × MP × NO × sin(30°)
=2 × 15 cm × 18 cm × 1/2
=270 cm²
難題 5：求平行四邊形 QRST 的面積，已知 QR = 14 cm、RS = 20 cm、∠QRS = 45°、∠STR = 60°
| 三角形 | 底邊長 | 高 | 面積 |
|---|---|---|---|
| ΔQSR | QR | RS × sin(∠QRS) | QR × RS × sin(45°) / 2 |
| ΔSTR | ST | RS × sin(∠STR) | ST × RS × sin(60°) / 2 |
由於無法求得 ST，因此需要先使用三角函數求得 RS：
RS² = QR² + SR² - 2 × QR × SR × cos(∠QRS)
RS² = 14² + 20² - 2 × 14 × 20 × cos(45°)
RS² = 576
RS = √576 cm ≈ 24 cm
代入三角形的面積公式：
面積1=QR × RS × sin(45°) / 2=14 cm×24 cm×1/2=168 cm²
面積2=ST × RS × sin(60°) / 2=ST × 24 cm×√3/2=12√3 ST cm²
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【基礎】平行四邊形的面積問題| 數學
【一般】複雜平行四邊形問題| 數學
由於不知道 ST，只能表示為 12√3 ST cm²。因此，平行四邊形的總面積為：
面積=面積1+面積2=168 cm² + 12√3 ST cm²
總結
掌握平行四邊形面積公式和解決常見難題的方法，有助於你熟練應對相關考題，提升幾何學素養。通過持續練習和深入思考，你一定能成為數學中的平行四邊形面積大師！