文章內容目錄
| 非歐幾何 | 歐幾裏得幾何 |
|---|---|
| 平行線相交 | 平行線永不相交 |
| 三角形內角和小於180度 | 三角形內角和為180度 |
| 雙曲空間、橢圓空間 | 平面空間 |
| 羅巴切夫斯基 | 歐幾裏得 |
| 第五條公理（平行公理） | 公理1-4 |
| 非平面空間 | 平面幾何 |
| 羅巴切夫斯基否定歐幾裏得第五條公理 | 歐幾裏得建立幾何學體系 |
| 羅氏幾何（非歐幾何） | 歐式幾何 |
| 曲面幾何 | 平面幾何 |
| 二維表面三角形內角和小於180度 | 三角形內角和為180度 |
| 過直線外一點可以做無數條平行線 | 過直線外一點只能做一條平行線 |
| 任何兩條直線都有共同交點（平行線相交） | 平行線沒有共同交點 |
平行線相交
平行線是永遠不會相交的直線。在歐氏幾何中，這是基本公理之一。然而，在非歐幾何中，如雙曲幾何和球面幾何，平行線可以相交。
平行線相交的證明
雙曲幾何
- 在雙曲空間中，平行線可以相交於兩個點。
- 設 (l_1) 和 (l_2) 是兩條平行線，並假設它們在點 (P) 和 (Q) 相交。
- 那麼，三角形 (△PQS) 是一個雙曲三角形，其內角和為小於 180 度。
球面幾何
- 在球面空間中，平行線可以相交於一個點，即球面的對蹠點。
- 設 (l_1) 和 (l_2) 是球面上的兩條平行線，並假設它們在點 (P) 相交。
- 那麼，點 (P) 的對蹠點 (Q) 也在 (l_1) 和 (l_2) 上。
平行線相交的應用
平行線相交的概念在非歐幾何的許多應用中非常重要，包括：
| 應用 | 域 |
|---|---|
| 羅氏幾何 | 雙曲空間 |
| 球面三角學 | 球面空間 |
| 航海術 | 地球表面（近似球面） |
總結
平行線相交是非歐幾何中的一個關鍵概念。它允許我們在雙曲空間和球面空間中定義距離和角度。在羅氏幾何、球面三角學和航海術等領域有著廣泛的應用。