你知道有那麼一條公式——它不僅可以表述生態系中動物族羣數量變化、城市裡人口隨時間變遷，金融市場波動、是氣候變遷有所關聯？令人是，這個式子並不是什麼複雜微分方程，它只有短短一行、小學生能代入算出。
這個看似式子，能推演出極其複雜圖像；而看似錯綜複雜圖像背後，隱藏著某種未知規律。
今天這篇文章，帶領大家透過這個函數認識世界。
且讓我們自然界談起。
假設一片草原上有一羣斑馬生活著，我們想要知道明年、後年、數十年後數量；我們知道，這一部分取決於斑馬出生率，有另一部分取決於環境負載力——假設斑馬族羣總數超過了該草地所能負荷程度，很可能後導致族羣縮減，因此，負載力有點類似於一個約束條件。
有了以上資訊，我們可以嘗試數學來描述：這邊，xn 代表是「現存族羣數量可容納族羣數量」比值，你可以想像成：設這片草原此時此刻有 60 隻斑馬，而草原所能容納斑馬數量最大值為 100 隻斑馬——超過這個值，那麼會面臨諸如饑荒生態危機。
因此，此例子中，x0 = 60/100 = 0.6。
而假設我們想知道明年數量， x1，可以帶進去推算。
那麼，式子中＂r＂是什麼？你可以它理解為「成長率」，但要注意是，它值是界定 0 與 4 之間。
如果只看 xn+1 = r xn，假設 r=2，今年有 60 隻斑馬、明年有 120 斑馬、後年會是 240 隻，這樣會無止盡地指數增長下去；因此，我們設定了＂(1 - xn)＂這個約束條件後，可以解決這個問題——假如今年 xn = 1，意味著該地斑馬數量達到環境可負荷最大值，會饑荒因素滅絕，隔年得到數量零。
這個看似、多少能生態學家建構模型公式，稱為「峯映射」(logistic map)，是今天文章主角。
從描述族羣、人口函數推演到「狀態」存在夠令人驚豔了，然而，不知你是否留意過分枝圖中、每一段分岔點之間間隔？如果你我們後得到分岔圖放大，會發現狀態之前、分岔點出現速率增快；而如果你每一個分岔點之間間隔取比值，你會發現——每一次得到值會是同一個數字，這個數字為 4.669，它稱為「費根鮑姆常數」(Feigenbaum constants)。
如果一開始我們假定有 30 萬人，明年會成長 31 萬、後年成長 32 萬，然後趨於和前者相近點。
後，如果這個城市一開始有 90 萬人，第二年會因為環境負載力而鋭減 13.5 萬人，但後年、後年後會隨著成長率升高而回升 33 萬人點。
而這些資訊並非空構思，因為它們本身含括峯映射公式裡，圖表呈現一目瞭然，你會發現無論前幾年如何變化、會回歸一個點：而這個值是取決於＂r＂，説，只要 r = 1.5，無論人口數目如何變化，點會有所差異。
因此，我們來看看＂r＂會如何變化？這時，我們回到原本假設：一個城市裡有 60 萬人口，如果改動 r，演化曲線會如何改變？我們 r 值增加，一切看似並無；當 r=2.8 時，我們發現圖形出現了週期性振盪，但後依舊回歸。
順帶一提，我們可以藉由「分枝圖」(bifurcation diagram) 來觀察 x 值 r 關係， r=0 2.8 之間，x 值有攀升趨勢； r=1.5 時，前述例子，x 值落 0.33 左右，下圖可以直接看出：我們繼續調大 r 值。
一切看似發展時，事情發生了：在此之前，一切族羣數量是平穩，但 r 超過 3 左右，持續振盪出現了，且自此「點」復存在；不僅如此，當 r 值調升，顯示出來圖像從原本 2 個值、4 個值、到多值之間來回振盪。
值得一提的是，這種「週期性振盪」現象生態圈人口變化中是確實存在，有可能前一年數量減少、今年數量增加、明年數量減少。
讓我們來看看應分枝圖：這應於原本從 2 個值之間擺盪、分岔成 4 個值之間擺盪、分岔成 8 個值之間擺盪……如此復。
此外，如果你留意橫軸 r 之間間隔，會發現：當 r 時，分岔速度！現在讓我們繼續 r 值調升，來看看會發生什麼事：話不多説，我們直接來看看分枝圖：令人毛骨悚然結果出現了！前面我們觀察到，當r提升時，系統會出現週期性振盪，應於分枝圖中「分岔」，且分岔速率會增快、增快；而 r 超過 3.5699 時，規律振盪、分岔復存在，取而代之是一團無法預測——這所謂「」(chaos)。
換而言，系統變量到程度時，會變成隨機且無法預測。
人口例，一開始我們假設情況， 60 萬人口與 r=1.5 成長率；接著我們發現，無論人口基數如何，只要 r 維持原狀，數年、乃至於數十年後點是相近。
然而，當r值提升後，點值會浮動了，r=3 後週期性振盪出現了、且分岔點加速倍增；緊接著，我們赫然發現：當 r 值於 3.5699 時，系統全然處於狀態。
説，即便給定初始條件，後人口演化會是無法預測。
事實上，這種「」、「」現象並不僅僅侷限於自然界族羣或者人口數量，它是可見。
比如：家中水龍頭關緊時，水滴會落下，按理來説，鬆程度水壓毫無變化情況下，滴水規律應該是不變；但如果你花一段時間觀察，會發現水滴可能一下子落下兩滴、一下子落下一滴——我們無法預測每一次滴落模式。
另一個例子金融市場：我們投資了金額股票後，市場波動導致金額浮動，就算有分析師預測模型，我們可能精準預測明天投資金額會變多少。
順帶一提，金融學中描述期權模型是「布萊克－休斯模型」(Black-Scholes model)，它便是粒子「布朗運動」(Brownian motion) 推導而來，其中粒子碰撞隨時間演化過程稱為「維納過程」(Wiener process)。
布萊克－休斯模型假設之一，便是隨時間演化「股票價格」描述成維納過程，從而預測、消弭潛風險。
事實上，休斯本身大學時主修物理學。
而提到「現象」，經典例子是氣象學家愛德華．洛倫茲（Edward Lorenz）那句名言：「一隻海鷗拍動翅膀，導致永久性氣候變化。
」爾後，這個現象稱為「蝴蝶效應」(Butterfly effect)，説，縱然系統初始條件只有微不足道變化，會導致後產生結果大相徑庭；即使是一隻巴西蝴蝶拍動翅翼，周邊氣流變化會連帶影響、擴散大氣系統，能致使一個月後德州發生龍捲風。
這些非線性、現象自然界，許多科學家嘗試研究，締造了「理論」(chaos theory) 研究熱潮。
我們能中梳理出一些規律，那麼，能地掌握「」之中資訊，這有助於我們地預測投資股票風險、有助於人們地預測天氣變化。
這理論蝴蝶效應，指一個動態系統中，初始條件下微小變化能帶動整個系統連鎖反應。
令人細思是，這個「常數」並非存在於單峯映射，所有理論中有這種分岔性質圖像，它們之間比例是這個常數！而目前數學界能明確理解這個常數性質，唯一可以推測是：前述峯映射例子中，費根鮑姆常數主宰了 r=3.5699 之前分岔規律； r 超過 3.5699 後，系統徹底進入狀態了。
除此之外，你發現了，每個分岔形狀超乎地相似，後一個分岔上前一個分岔縮版。
這種特徵令人聯想到數學上「碎形」(fractal)，某些形狀放大後會是自己本體、從而延伸下去。
例子複數平面上二次多項式迭代出來「曼德博集合」(Mandelbrot set)。
信不信你——我們峯映射分枝圖曼德博集合，會發現分岔點之間是有所應關係；説，峯映射可以視為曼德博集合一部分！簡單的單峯映射公式，我們推導出了自然界族羣、人口演化模式，進一步發現了「」狀態存在；而看似極其複雜狀態中，發現了隱藏背後規律。
理論在生活中是無所不在，時今日，有未知特性等著人們發掘驗證。
從生物競爭、人口演化、股市浮動、流成因、到氣候變遷……這些事物現象主宰著，從而使我們無法精準預測到未來走向。
然而，費根鮑姆常數發現幾何碎形聯繫指出了背後潛藏著某些規律，這令人讚嘆自然界。
可以知道世界上可分為有錢人和沒錢人，預知你會落哪。
可以知道世界上可分為有錢人和沒錢人，預知你會落哪。
海岸雲層上緣，出現一隻隻哥吉拉形狀雲；原子彈投下後，爆炸引起蕈狀雲；土星氣層內形狀雲帶……。
這些看似毫無相關現象，背後成因可以歸納：流體中定性。
＜千變萬化流體（一）＞一文中，我們介紹了流體流動狀態主要可以分成兩種：層流。
層流狀態流體十分，它可以視為一層一層獨立流動來討論；，它名字所表示，流體內部流動，層之間流體會混合、影響。
而決定是層流是關鍵因素便是「定性」[1]。
描述天氣系統甚麼預測時，會提到「蝴蝶效應」這個小故事：位大西洋颶風，其成因可能只是在亞馬遜森林裡面一隻蝴蝶煽動了翅膀，這個初始擾動，隨著時間演變，形成尺度結構。
定性流體中扮演角色十分相似。
流體內部產生十分微小擾動，若整個流體定性足夠大，微小擾動有機會繼續成長，直到整個流體造成影響。
流體中具有各式各樣定性，本篇文章中，我們會介紹哥吉拉雲有蕈狀雲有關兩種定性：克耳文-亥姆霍茲穩定性以及瑞利-泰勒定性。
這個定性得名於兩位此現象進行研究物理學家：發明温標克耳文爵士，以及聲學共振系統做出系統性研究的亥姆霍茲（＜香檳聲音哪裡來？＞一文中，他登場過）。
這個定性發生條件是：兩層流體之間具有速度。
請搭配圖二，讓我們一起來理解這個定性是如何產生哥吉拉雲。
設有兩層流體，向左與向右運動。
延伸閱讀…
它們彼此平行時，一切無事，如圖二（a）。
但這個狀態並，任何擾動，可能會破壞這個狀態。
例如，流體中形成瞭如圖二（b）擾動，接下來流體運動會如何變化呢？於流體來説，A 點體積原本，因此流動速度，澆花時，將水管捏住（管徑縮小），水可以噴得。
此外，流速會使得 A 點壓力減小；但於紅色流體來説，A 點壓力反而會增大。
如此會導致流體內部壓力分佈形成圖二（c）。
兩種流體之間壓力差，會進一步使擾動長大，如圖二（d）。
後，於流體本身橫向速度，使擾動橫出現變形，如圖二（e）。
如此，哥吉拉形狀是不是就出現了呢？接下來，讓我們另一種在生活中那麼見，但是看過忘記定性現象：核爆產生蘑菇雲。
這種現象成因，是來於瑞利-泰勒定性，它會發生於密度流體壓密度流體之上時。
核彈爆發會時間內釋放出熱量，將爆炸中心空氣瞬間加温。
我們知道，氣體温度，密度，因此爆炸中心，會瞬間形成大量低密度空氣。
讓我們模型來看看，這種定性是如何造成蘑菇雲。
圖三（a）中有兩種流體，密度上，此時整個流體系統處於態，只要有一點擾動 ，如圖三（b） ，定性會使擾動擴大。
於密度差異，重力使得密度流體上升，密度下降，使振幅增大。
此外，於壓力密度方向並平行，會導致流體邊界形成渦旋，如圖三（c）。
以上這些效應疊加在一起後[2]，流體邊界處會形成如蘑菇狀特徵，如圖三（d）。
以上兩種流體定性，我們生活中存在，例如：點燃線香。
於線香燃燒處温度上升，空氣密度下降，此時滿足瑞利-泰勒定性條件；空氣上升時，和兩側靜止空氣有速度，滿足了克爾文-亥姆霍茲穩定性條件。
只是於規模，發生速度，肉眼可以看到如前文中提到特徵。
儘管如此，各位讀者瞭解這些定性後，若是試著觀察看看生活中各種流體，能找到隱藏起來「蕈狀雲」喔！[1] 更詳盡的説可以參考 CASE＜上下顛倒漂浮船＞一文[2] 實際上，形成蘑菇狀構造流體三維條件下非線性效應有關，數學模型複雜，此處只是概述其成因。
1993 年科幻經典電影《侏羅紀公園》（Jurassic Park）爆紅，炒熱了許多科學話題，例如基因工程、恐龍 DNA 取得，有暴龍奔跑速度、以及恐龍是否恆温動物和有視覺行。
片中雖然只是一提，引起世人矚目的是，黑衣神經質數學家解説「蝴蝶效應」，説什麼一隻蝴蝶北京拍動翅膀，可能地球另一端紐約掀起風暴。
這理論蝴蝶效應，指一個動態系統中，初始條件下微小變化能帶動整個系統連鎖反應。
延伸閱讀…
後來 2004 年上映一部科幻電影《蝴蝶效應》（The Butterfly Effect），影片裡看似無關變化，到後可能會導致無法預期後果。
要知道理論是啥咪碗糕嗎？《：不測風雲背後》（Chaos: Making a New Science）是讀經典書。
《》是天下文化第一本科普書，是台灣第一本科普銷書。
這本書開啟了科學人文系列科普濫觴，間接造就了科普書黃金時代。
《》原文版 1987 年出版，四年後台灣出版了中文版，今年再出第三版，轉眼過了 25 年，我高中生歷經大學生、研究生、博士後到進助理教授。
雖然這廿幾年來，理論有了發展，可是這本 25 年前出版《》，是理解這門學問誕生不可式缺必讀讀物，是歷久不衰經典。
雖然過了廿幾年了，我忘不了當初馬來西亞，一個高中生書展中邂逅這本書感動。
馬來西亞一個小鎮，沒有像樣書店，我們只有在中華商會辦小書展中，能找到出版書。
想當年，我們馬來西亞吃頓飯，只要台幣十幾塊，一本台灣出版新書，要我們廿幾頓飯飯錢（想像一下要一個台灣高中生花一千多塊錢買本科普書吧）。
記得年峇株巴轄中華商會書展，展出了天下文化科學人文其他書籍，我放學有空去逛。
逛了幾次，存夠了錢想買本書，買得起一本，那《》了。
後來是有空去書展，天天翻其他書，可是翻來翻去，還是買不起其他書了。
《》是我第一本科普書，有陣子是唯一一本吧。
一個高中生，怎麼可能懂得和理論有關高深數學？更何況我數學不太好，一個馬來西亞小鎮成績不太好高中生，能有多少科學素養？然而，《》這本書，處於，作者葛雷易克（James Gleick）寫作功力了，《》讓我看得津津有味。
我慶幸，第一本讀科普書是《》，讓我科學世界，嚮得不得了，所以願意投身科學事業。
過了十幾年，我於到了美國深造，唸博士班時，狀況外選修了門「族羣生物數學模式」課，一開始微分方程嚇到了，撐到學期中，老師方程式端上來了，當時知道理論生態學上有廣泛的應用。
來説，許多生物族羣數量上變動，有些條件改變，會造成結果，是典型非線性系統。
《》這本書，裡頭並沒有多嚇人數學方程式，飛機上讀，會像賓州大學經濟學教授因為機上寫積分，乘客誤認為那些辨認文字是活動暗號，安檢人員約談而導致班機延誤。
因為書中沒有多少奇怪數學符號，不過倒是有很多碎形幾何圖案，如果那能誤認，那上報宣傳一下《》這本開啟科普書黃金時代書吧。
《》主要要談，其實是一羣科學家故事。
這羣科學家，大多深居簡出，埋首實驗室裡進行研究，發現了許多非線性系統現象。
典範轉移前，他們發現科學社羣認可，有些被誤認為異端説。
例如早期應用計算機時，非線性系統中初始條件微小改變造成結果，大部分科學家可能認為是程式有誤吧，只有少數敏鋭科學家鍥而不捨、排除萬地異例追根究底，發現世界，然後產生了典範轉移，改變了我們世界認識。
天有不測風雲，預測天氣人送上月球嗎？過去科學家以為只要收集到了足夠多數據，能地預測，可是理論讓我們瞭解到參數微小差異，有天翻地覆結果。
大氣科學，理論泛地應用許多學科中，包括數學、生物學、資訊科學、經濟學、工程學、金融學、哲學、物理學、政治學、人口學、心理學和機器人學。
蝴蝶效應，理論中，另一個能讓門外漢著迷是，《》書中彩頁曼德博集合。
那是一門所謂「碎形幾何」，其定義是：「一個或幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分（地）是整體縮後形狀」，看起來抽象吧？來説，自然界中，有些東西有形狀，可是仔細瞧瞧，那些形狀是複，例如雪花。
「碎形幾何」革命性地讓我們許多生物現象有了進一步理解，例如蕨類植物葉子，有我們身體裡血管、神經、氣管、腎小管構造，有其「碎形幾何」道理。
「碎形幾何」複性，有其他現象，例如維度可以數，還可以有分數，例如 1.2618 ，創造「碎形」一詞數學家本華．曼德博（Benoît B. Mandelbrot, 1924-2010） 1967 年經典論文〈英國海岸線有多？〉現在有人提出來讓學生思考討論。
理論不只是有蝴蝶效應和碎形幾何，有許許多多現象和模型。
《》理論發展過程，很平易近人方式眾述説。
説有些非理工科系出身朋友，科學發展過程認識來這本《》。
如果你當年我拜讀過《》，現在是個時機再拜讀一次，重温多年前神遊探索科學邊疆熱情，如果你有讀過《》，是歡迎來讀這本經典，體驗科學家探索未知世界。
文長，長，但希望藉此文能、説明天氣預報、如何去看天氣預報，才是預報應用。
看3/25預報結果，日本氣象協會預報（温度部分日本有修正，降雨方面是兩邊有修正調整）：